Depuis plusieurs années, l’État-major des armées (EMA) – comme les différents états-majors d’armées – ont investi le champ des « jeux de guerre » ou wargames avec la volonté de favoriser « le questionnement, le débat contradictoire et l’exploration d’alternatives dans un monde où le caractère de la guerre évolue sans cesse » (Centre interarmées de concepts, de doctrines et d’expérimentations [CICDE], p. 7).

Si l’ambition est louable, une connaissance beaucoup trop limitée de la théorie des jeux ne permet pas d’en tirer tout le profit escompté. Les wargames peuvent même s’avérer largement contreproductifs en focalisant l’attention des décideurs sur des cas extrêmement particuliers, au réalisme douteux, au détriment d’une vision globale de la situation et des choix alternatifs qui s’offrent à eux.

Il nous semble donc aujourd’hui indispensable de resituer les wargames au sein de la théorie des jeux afin de permettre aux militaires de mieux en saisir l’intérêt mais aussi les limites. Une condition indispensable pour en faire un outil d’anticipation stratégique.

Histoire et principaux concepts de la théorie des jeux

La théorie des jeux ⁽¹⁾ est une branche des mathématiques appliquées qui étudie des situations où les individus, groupes d’individus ou organisations, tiennent explicitement compte de l’interdépendance de leurs actions.

Les origines de la théorie des jeux

Puisant ses racines dans les publications successives des mathématiciens Ernst Zermelo (1913) et Émile Borel (1921), la théorie des jeux a rapidement trouvé des applications dans le domaine économique avant de s’étendre à de nombreuses autres disciplines : biologie (avec la théorie de l’évolution notamment), sociologie des organisations, droit, psychologie, etc. C’est toutefois dans le domaine des sciences politiques, plus spécifiquement dans celui des conflits armés (guerres et alliances), que son usage est le plus naturel.

La théorie des jeux se divise en trois grandes branches : les jeux à somme nulle, les jeux coopératifs et ceux non coopératifs. À chacune de ses branches est associé un concept de solution privilégiée qui permet d’achever le jeu.

Les jeux à somme nulle : minimax et maximin

Les jeux à somme nulle sont chronologiquement les premiers à avoir été étudiés. Comme leur nom l’indique, les gains des uns correspondent exactement aux pertes des autres. Ses techniques furent alors initialement mobilisées pour prédire les coups « optimaux » à réaliser dans des jeux de société, comme les échecs, avant d’être abondamment utilisées durant la Seconde Guerre mondiale par l’armée américaine.

Basée sur le principe de la récurrence à rebours, qui consiste à jouer le premier coup en partant de l’état final souhaité puis en anticipant les réponses de l’adversaire, la théorie des jeux à somme nulle s’appuie sur les techniques de la programmation linéaire ⁽²⁾. Dans cette configuration, le jeu prend un caractère, un « objectif » et consiste pour un joueur à dérouler une stratégie, définie comme une liste d’actions, afin d’atteindre le résultat souhaité qui a d’ailleurs déterminé son premier coup. Le nombre de ses stratégies – comme celui de l’adversaire – pouvant être particulièrement élevé, il est possible d’en considérer certaines comme plus probables, ou plus réalistes, et de les affecter d’une probabilité de survenue plus importante. Ces stratégies dotées d’une probabilité sont appelées codes de Borel.

Même affectées de probabilités, l’optimalité d’un jeu à somme nulle ne peut être que relative dans la mesure où ce qui est optimal pour un joueur ne l’est évidemment pas pour l’autre. Les mathématiciens américains John von Neumann et Oskar Morgenstern vont alors contourner la difficulté en proposant une règle de retenue : le minimax et son alter ego, le maximin. S’appuyant sur une propriété de la programmation linéaire ⁽³⁾, von Neumann et Morgestern remarquent qu’il est compatible pour des joueurs de minimiser leurs gains maximaux et de maximiser leurs gains minimaux.

Le choix pour des joueurs de suivre les stratégies minimax et maximin relève d’un comportement prudent mais parfaitement rationnel. Si des joueurs font montre de retenue, plutôt que d’une posture va-t’en guerre, la meilleure stratégie pour leurs adversaires est de les imiter. Cela tient au fait que « le meilleur choix possible », en termes de gains, face à un comportement prudent est de type « point selle » qui consiste à adopter soi-même une attitude raisonnable dans la mesure où toute déviation unilatérale, visant à prendre une posture belliqueuse, engendre une réaction dans le même sens de l’adversaire diminuant les gains de chaque protagoniste.

Les jeux coopératifs : le cœur

En 1942 paraît la première édition de Theory of Games and Economic Behavior de von Neumann et Morgenstern qui est l’acte fondateur de la théorie des jeux coopératifs. Cette approche part de l’idée qu’il existe des coalitions qui sont susceptibles de se modifier selon les intérêts de leurs membres. La théorie des jeux coopératifs cherche alors à étudier les conditions de stabilité des coalitions.

La première façon de faire, présent dans l’ouvrage de référence de von Neumann et Morgenstern, fut de recourir à une « fonction caractéristique » qui vise à examiner les coalitions, une à une, de façon isolée sans préjuger de leur maintien. Ce dernier dépend uniquement du gain que peuvent avoir des individus à modifier leurs alliances. Toutefois, sans critère supplémentaire, une grande majorité des coalitions s’avère instable puisqu’il est quasiment toujours possible pour un joueur de faire miroiter un gain afin de défaire une alliance ⁽⁴⁾. À l’inverse, les menaces de représailles et les tentatives d’intimidations peuvent former des variables en tant que telles qui font évoluer les alliances et dont la fonction caractéristique ne permet pas de rendre compte ⁽⁵⁾. D’où l’idée, proposée par les deux auteurs, de passer à un concept plus restrictif pour rendre compte de la stabilité des coalitions : l’imputation.

Le principe de l’imputation est de considérer que les solutions des jeux coopératifs prennent par essence des formes extrêmement variables et souvent complexes où, par exemple, les joueurs peuvent se retrouver dans plusieurs coalitions qu’ils hiérarchisent ⁽⁶⁾. L’imputation désigne alors comme stable une coalition ou chaque membre gagne au moins autant que s’il n’en était pas membre et qui sont, d’un point de vue global, Pareto-optimal (autrement dit qui ne permet pas à une coalition d’augmenter ses gains sans diminuer ceux d’une autre) ⁽⁷⁾.

Le concept d’imputation donne à la fois un critère de rationalité individuelle et collective. Il a le mérite de fournir une vision claire de ce que peuvent être les marges de négociation entre des coalitions : accorder aux adversaires tout ce qu’ils souhaitent tant que cela ne coûte rien et ne dégrade pas ainsi sa propre situation. En d’autres termes, et appliquée aux préoccupations militaires, l’imputation fixe « le territoire sur lequel les coalitions s’engagent et bataillent » (Shubik, 1991, p. 151).

L’ensemble des imputations est souvent très vaste. Ce qui a conduit, quasi-simultanément, le mathématicien britannique Donald A. Gillies (1953) et son confrère américain Lloyd S. Shapley (1953) à proposer une restriction à travers un nouveau concept : le cœur. Celui-ci désigne les imputations où aucun joueur n’a intérêt à sortir de la coalition dont il fait partie. Le cœur est donc la représentation simultanée des solutions individuelles et collectives optimales. Il se représente facilement dans le cadre d’un jeu à deux coalitions :

Les jeux non coopératifs : l’équilibre de Nash

Alors que dans les jeux coopératifs, les coalitions sont une donnée de départ, l’idée a émergé à la fin des années 1940 de mettre l’accent sur les comportements individuels. Des coalitions peuvent toujours exister mais leur formation relève désormais d’un processus fondé sur un intérêt mutuel à partager des gains plus élevés en nouant des alliances. Elles ne sont pas obligatoires.

Le retour en grâce des intérêts particuliers, que véhicule l’approche non-coopérative, a engendré un nouveau concept de solution : l’équilibre de Nash. Formellement, celui-ci correspond au meilleur choix possible que puisse effectuer un joueur compte tenu de ce qu’il anticipe être celui de ses adversaires (Nash, 1950). Lorsque chaque joueur est convaincu d’avoir effectué le meilleur choix au regard du comportement anticipé des autres joueurs, le jeu s’arrête. L’équilibre de Nash est donc un point fixe du jeu ⁽⁸⁾, plus personne n’a intérêt à en dévier.

Il est ici important de remarquer que l’équilibre de Nash, lorsque celui-ci existe, est nécessairement la solution vers laquelle va tendre un jeu non coopératif (Nikaido et Isoda, 1955). Il ne peut pas en être autrement.

Les wargames dans la théorie des jeux : vers un bon usage des wargames

La théorie des jeux a très tôt proposé des applications militaires, notamment en Russie et aux États-Unis ⁽⁹⁾, par des calculs de dissuasion portant sur la constitution de stocks d’armes et l’affectation de forces de frappes (pour des illustrations, voir Dresher, 1961).

D’autres jeux ont cherché à éclairer la guerre aérienne stratégique et tactique (Berkovitz et Dresher, 1959), tandis qu’une catégorie différente a examiné les processus d’escalades et d’allocation des forces (Beale et Heselden, 1962) ou l’efficacité des systèmes de défense (confère Shubik et Weber, 1981). De nombreux jeux se sont aussi penchés sur des questions aussi variées que sur la crédibilité de la stratégie de dissuasion nucléaire (Dalkey, 1965), les batailles comme celles de bombardiers (Caywood et Thomas, 1955), le rythme d’avancé des fantassins (Karlin, 1959), etc. L’ensemble de ces travaux ont ainsi donné lieu à pléthore de ramifications contemporaines ⁽¹⁰⁾.

Malheureusement tous ces jeux font appel à des mathématiques relativement complexes, qui mobilisent le calcul différentiel, la topologie ou la théorie du contrôle optimal, qui les rend inaccessibles à un public ne disposant pas d’une formation avancée dans ce domaine. Le résultat est qu’ils ont été superbement ignorés par l’armée française qui a privilégié, spécialement ces dernières années, des jeux de guerre plus ludiques donnant l’impression de verser dans le concret. Aux modèles de combats à équations différentielles se sont substituées des figurines à bouger après un lancer de dés, aux courbes de niveau se sont échangés des plateaux de jeux représentant un terrain de combat tandis que l’usage du contrôle optimal, dont l’armée russe a démontré tout l’intérêt dans l’analyse des luttes sous-marines (Pontriaguine A., 1966), a été banni. Pourtant, en dépit de leur aspect ludique, les wargames s’inscrivent systématiquement dans l’une des trois déclinaisons de la théorie des jeux. Ainsi, la théorie des jeux coopératifs est mobilisée pour rendre intelligible les rapports au sein des coalitions. Les duels sont, quant à eux, l’apanage des jeux à sommes nulles : « les duels effectifs et les problèmes de recherche d’un adversaire – comme un destroyer essaye de couler un sous-marin qui veut évidemment se sauver, ou bien le combat de deux chars – peuvent aussi se ramener à des jeux de somme nulle à deux joueurs » (Shubik, 1991, p. 248). Toutefois, l’approche non-coopérative étant aujourd’hui hégémonique, les wargames récents s’inscrivent pour l’essentiel dans ce cadre.

Principe des wargames

Les wargames peuvent revêtir des formes différentes : jeux de guerre éducatifs qui servent à la formation et à l’éducation sur une thématique particulière, jeux de guerre expérimentaux censés s’approcher d’un cadre réel d’exercice et brain games qui prennent l’aspect d’un jeu de rôle sur la base d’une discussion libre avec des experts du sujet.

Pourtant, quelle qu’en soit la forme, les wargames ne sont rien d’autre qu’une illustration de la théorie des jeux non coopératives à un cadre guerrier. Comme tout jeu, un wargame dispose d’une règle du jeu qui précise l’ordre des coups qui peuvent être simultanés, séquentiels ou même combiner les deux aspects. Lorsque ces règles sont connues de l’ensemble des participants, les théoriciens parlent d’information parfaite.

Outre les règles, s’ajoutent d’autres éléments d’information dont peuvent disposer les joueurs :

– leurs possibilités d’actions (appelées ensemble de choix) ;

– l’ensemble des choix des autres joueurs ;

– la gamme des issues possibles et les gains associés ;

– les motifs d’actions de chacun des participants (en plus des siens).

Lorsque la totalité des éléments mentionnés ci-dessus sont à disposition des joueurs, l’information est dite complète. La plupart des wargames préservent l’hypothèse d’information parfaite mais envisagent plus volontiers une information incomplète (en particulier en ce qui concerne l’ensemble des choix des autres joueurs et la gamme des issues possibles).

Solutions des wargames : l’importance de l’équilibre de Nash

Quiconque connaît la théorie des jeux ne peut être qu’éberlué du temps perdu dans les wargames à jouer des rôles ou à lancer des dés, ou même à faire bouger des pièces sur un jeu de société alors que le résultat est connu d’avance. S’agissant d’un jeu non coopératif, même si les participants ne s’en rendent pas toujours compte, toutes les solutions d’un wargame sont nécessairement des équilibres de Nash ⁽¹¹⁾.

Il est alors plus qu’étonnant de constater, à la différence des ouvrages plus théoriques généralement anglo-saxons, que les manuels hexagonaux qui traitent des wargames ignorent complètement cette notion centrale, donnant ainsi le sentiment erroné aux usagers d’une discipline complètement déconnectée de la théorie des jeux ⁽¹²⁾. Cette erreur d’appréciation a de très fâcheuses conséquences. En renonçant aux concepts de résolution de la théorie des jeux, les participants perdent toute hauteur de vue. Ils en viennent alors à focaliser leur attention sur un équilibre de Nash particulier (et sur son processus qui le fait émerger), et à négliger la quasi-totalité des autres.

Quid de l’incertitude ?

L’intérêt principal des wargames, d’après leurs partisans, réside dans la prise en compte de l’incertitude : « les wargames sont des outils de modélisation systémique visant à aider à la décision en situation d’incertitude mais aussi à se familiariser à la complexité du réel » (Vallat, 2024, p. 4). La conséquence immédiate de cette incertitude semble être la disparition d’une solution optimale : « La pratique des wargames (wargaming) plonge les participants dans des situations complexes, incertaines, où la prise de décision ne peut être optimale (il n’y a pas une bonne réponse au problème posé mais un panorama de solutions plus ou moins satisfaisantes qui évoluent au fil du temps) » (Ibidem).

L’accent mis sur l’incertitude est une préoccupation constante des wargames qui expriment constamment le besoin de la prendre en considération (ou du moins, une forme de risque afin d’affecter des probabilités à chaque événement) quitte à l’introduire par des artifices : « Dans la plupart des jeux de guerre, un mécanisme d’incertitude est introduit sous différentes formes (lancer de dés, tirage aléatoire de cartes d’événements ou leur représentation digitalisée) » (CICDE, p. 36). Il n’y a, en réalité, aucun besoin de recourir à ces mécanismes pour faire face à des situations complexes ne présentant pas de solution optimale simple. Ainsi, de nombreux équilibres de Nash ne constituent pas des solutions optimales. Il est également parfaitement possible de construire des jeux très simples, sans incertitude, ne disposant d’aucun équilibre ⁽¹³⁾.

Obnubilés par la volonté de gagner en réalisme, les wargames ne mesurent pas que l’incertitude est déjà extrêmement présente par nature dans la théorie des jeux. L’incertitude d’un jeu résulte d’abord de l’ignorance du comportement des autres joueurs. Cette incertitude, de nature stratégique, peut-être agrémentée d’une incomplétude d’information (voir par exemple Levine et Ponssard, 1977) ou même d’une méconnaissance des règles du jeu (Guerrien, 2002). Enfin et surtout dans les jeux non coopératifs, l’incertitude tient à la multiplicité des équilibres de Nash.

Comment bien utiliser les wargames ?

On l’a dit, l’équilibre de Nash a pour spécificité de ne pas nécessairement être optimal au sens de Pareto. Autrement dit, la poursuite par chacun de ses intérêts peut conduire à des situations où chaque partie aurait gagné davantage en coopérant. Certains sont optimaux au sens de Pareto, d’autres non. Toutefois, face à la profusion de stratégies possibles dans un jeu où les coups se répètent, il existe généralement une multiplicité d’équilibres de Nash ⁽¹⁴⁾, aux propriétés très différentes, sans qu’il soit toujours possible de trouver une raison évidente pour en privilégier un ⁽¹⁵⁾ ou sans que l’on puisse démontrer celui vers lequel tend naturellement le jeu.

Le premier travail à effectuer au sein des états-majors est donc de recenser les équilibres de Nash et de les classer en distinguant ceux :

– qui maximisent les gains des joueurs ;

– Pareto-optimaux ;

– « dominés » i.e. qui engendrent des pertes.

Plusieurs méthodes modernes existent pour y parvenir ; elles s’appuient principalement sur des techniques géométriques (voir par exemple Couellan, 2017 ou Suciu et Rodica, 2025) ⁽¹⁶⁾. L’étape suivante consiste à sélectionner l’équilibre vers lequel il paraît opportun de tendre. L’arbitrage est généralement entre celui qui maximise les gains et celui Pareto-optimal souvent, mais pas systématiquement, plus acceptable pour l’adversaire ⁽¹⁷⁾. Les wargames acquièrent à cet instant tout leur intérêt. Une fois l’objectif défini, ils permettent ensuite de simuler la manière de l’atteindre. En outre, les anticipations des joueurs (elles-mêmes fondées sur des croyances) jouant un rôle décisif dans l’atteinte de l’équilibre de Nash, il est primordial de tester la manière de les orienter et de les conditionner afin de tendre vers la solution souhaitée.

Conclusion

L’armée française a un siècle de retard dans la compréhension de la théorie des jeux au point même d’entendre fréquemment que cette discipline n’a jamais traité de questions militaires… Pourtant les wargames, si appréciés au sein des états-majors, ne sont rien d’autre que des exemples d’applications de la théorie des jeux – souvent dans sa forme non coopérative – qui mettent l’accent sur un équilibre de Nash particulier. Faute de disposer d’une vision générale de la théorie des jeux, et de situer les wargames au sein de cette dernière, les armées en font un usage impropre qui les induit en erreur. Cette situation est d’autant plus regrettable que l’hexagone dispose de talentueux théoriciens des jeux dont les travaux restent cantonnés aux bibliothèques universitaires. Il est à présent urgent d’exploiter cette ressource !

Éléments de bibliographie

Berkovitz L.D. et Dresher Melvin, « A Game-Theory Analysis of Tactical Air War », Operations Research, vol. 7, n° 5, 1955, p. 557-685.

Beale E.M.L. et Heselden G.P.M., « An Approximate Method of Solving Blotto Games », Naval Research Logistics Quarterly, vol. 9, n° 2, 1962, p. 65-79.

Borel Émile, « La théorie du jeu et les équations intégrales à noyau symétrique », Comptes rendu de l’Académie des sciences, tome 173, 1921, p. 1304-1308.

Caywood T.E. et Thomas C.J., « Applications of Game Theory in Fighter Versus Bomber Combat », Operations Research, vol. 3, n° 4, 1955, p. 402-411.

Centre interarmées de concepts, de doctrines et d’expérimentations (CICDE), Manuel du jeu de guerre : mener un projet wargaming, ministère des Armées, 2023 (https://www.defense.gouv.fr/).

Colbert Edward J.M., Kott Alexander et Knachel Lawrence P., « The Game-Theoretic Model and Experimental Investigation of Cyber Wargaming », The Journal of Defense Modeling and Simulation: Applications, Methodology, Technology, vol. 17, n° 1, 2018, p. 21-38.

Couellan Nicolas, « A Note on Supervised Classification and Nash-Equilibrium Problems », RAIRO Operations Research, vol. 51, n° 2, 2017, p. 329-341.

Dalkey Norman C., « Solvable Nuclear War Models », Mangement Science, vol. 11, n° 9, 1965, p. 783-791.

Dresher Melvin, Games of Strategy: Theory and Applications, RAND Cooporation, 1961 (https://www.rand.org/).

Gillies Donald B., Some Theorems on n-Person Games, Ph.D. Thesis, Princeton University, 1953.

Guerrien Bernard, La théorie des jeux, 3^e édition, Économica, 2002, 112 pages.

Karlin Samuel, Mathematical Methods and Theory in Games, Programming, and Economics, Pergamon Press, London, 1959.

Kreps David M., Théorie des jeux et modélisation économique, Dunod, 1999, 192 pages.

Levine P. et Ponssard Jean-Pierre, « The values of information in some nonzero sum games », International Journal of Game Theory, vol. 6, n° 4, décembre 1977, p. 221-229.

Nash John F., « Equilibrium Points in n-Person Games », Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 36, n° 1, 1950, p. 48-49 (https://doi.org/10.1073/pnas.36.1.48).

Neumann (von) John et Morgestern Oskar, Theory of Games and Economic Behavior, CSS Bookshop, 2021.

Nikaido Hukukane et Isoda Kazuo, « Note on Noncooperative Convex Games », Pacific Journal of Mathematics, vol. 5, n° 5, 1955, p. 807-815.

O’Neill Barry, « Chapter 29 Game Theory Models of Peace and War », Handbook of Game Theory with Economic Applications, vol. 2, 1994, p. 995-1053.

Pontriaguine L.S., « On the Theory of Differential Games », Russian Mathematical Survey, vol. 21, n° 4, 1966, p. 193-246.

Shapley Lloyd S., « A Value for n-Person Games » in Kuhn H. et Tucker A.W. (dir.), Contributions to the Theory of Games vol. II. Annals of Mathematics Studies 24, Princeton University Press, Princeton, 1953, p. 307-317.

Shubik Martin, Théorie des jeux et sciences sociales, Economica, 1991.

Shubik Martin et Weber Robert James, « Systems Defense Games: Colonel Blotto, Command and Control », Naval Research Logistics, vol. 28, n° 2, juin 1981, p. 281-287.

Suciu Mihai-Alexandru et Rodica Iona Lung, « A Nash Equilibria Decision Tree for Binary Classification », Applied Intellingence, vol. 55, n° 192, 2024 (https://doi.org/10.1007/s10489-024-06132-3).

Vallat Damien, « Le wargaming comme outil de sensibilisation à l’incertitude », 1^res Assises françaises du wargaming, Institut d’étude de stratégie et de défense (IESD-Université Lyon 3), 2024 (https://hal.science/hal-04676855v1/document).

Whittaker G.M., « Asymmetric Wargaming: Toward A Game Theoretic Perspective », The MITRE Corporation, septembre 2020 (https://www.mitre.org/sites/default/files/pdf/whittaker_asymmetricr.pdf).

Zermelo Ernst, « Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels », Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians, Cambridge University Press, 1913, p. 501-504.

Zhuang Jun, et al, « Heuristics, Optimization, and Equilibrium. Analysis for Automated Wargames », in Lim G. et Herrmann Jeffrey W. (dir.), Proceedings of the 2012 Industrial and Systems Engineering Research Conference, vol. 3, 2012, p. 2201-2210.

(1) NDLR : Sur ce sujet, voir également Namor Anthony, « Redécouvrir la théorie des jeux : Apport des mathématiques de la décision à la réflexion tactique et stratégique », RDN, n° 858, mars 2023, p. 92-98 (https://www.defnat.com/) et, dans le même numéro, Langlois-Berthelot Jean, Bazalgette Didier et Boisset Marc-Olivier, « La théorie des jeux : un outil pertinent pour l’analyse stratégique ? », p. 99-103 (https://www.defnat.com/).
(2) Dans ce type de jeu, les joueurs sont effectivement amenés à résoudre des programmes d’optimisation sous contraintes. Si on appelle x = (x₁, ..., x_i, ..., x_n) les actions possibles d’un joueur, f(x) les gains associés (f:) et g_j(x) avec (j = 1, ..., m) les contraintes qui pèsent sur ses choix, résultant de la réaction de l’adversaire, alors le programme d’optimisation du joueur consiste à déterminer un ensemble d’actions  tel que .
(3) Un programme d’optimisation linéaire sous contraintes a pour spécificité de pouvoir se résoudre indifféremment en maximisant une fonction objective (le primal) ou en minimisant une fonction associée (le dual). En effet, il revient au même de maximiser les gains f(x) sous les contraintes g_j(x) que de minimiser l’intensité des contraintes sous la condition d’obtenir des gains positifs.
(4) La fonction caractéristique sert aujourd’hui de base minimale. Elle intervient essentiellement lorsqu’il n’existe a priori aucun motif de coopération entre les parties et représente ce que chaque joueur peut espérer obtenir (comme gain) s’il joue de façon optimale sans pour autant indiquer ce qu’est la stratégie optimale.
(5) On appelle c-jeu ceux dont l’examen de la fonction caractéristique suffit à la résolution.
(6) Tel est le cas des Etats qui appartiennent à plusieurs organisations dont les objets peuvent se recouper.
(7) Du nom du sociologue et économiste italien Vilfredo Pareto (1848-1913) qui a théorisé ce concept.
(8) Au sens mathématique, un point fixe est un point  d’un intervalle compact E à valeur dans lui-même tel que f(x) = x. Autrement dit, il ne se modifie pas même si on lui applique le processus f. Le lien avec la notion d’équilibre est alors immédiat.
(9) Ce qui est loin d’être un hasard puisque la programmation linéaire est née quasi-simultanément des travaux du mathématicien russe Leonid Kantorovitch et de ceux de son confrère américain George Dantzig.
(10) Des synthèses sont régulièrement effectuées. L’une des plus fameuse a été réalisée par O’Neil B. (1994).
(11) De très nombreux travaux, financés notamment par l’US Air Force, font expressément le lien entre wargaming et équilibre de Nash (voir par exemple Zhuang, et al., 2012).
(12) Le manuel de référence de l’État-major des armées (EMA), élaboré par le CICDE, ne mentionne à aucun moment ce concept central.
(13) L’absence d’équilibre peut généralement être corrigée en affectant des probabilités aux prises de décisions des joueurs, ce que les théoriciens appellent des stratégies mixtes. L’intrusion des probabilités dans un jeu, quelle qu’en soit la forme (dés, cartes, etc.), est donc un facteur de réduction de l’incertitude et non d’accroissement !
(14) Cela résulte du fait que John Nash convoque le théorème du point fixe de Shizuo Kakutani – qui porte sur des correspondances – plutôt que celui de L.E.J. Brouwer qui ne mobilise que des fonctions univoques.
(15) Un cas très intéressant, baptisé « jeu des villes », d’équilibres multiples est présenté par David Kreps (1999) dans son chapitre 3. Ainsi ce jeu, pourtant simple à première vue, dispose de 128 équilibres de Nash. Un argument convaincant pour en distinguer un est de mettre en avant le rôle que joue les effets d’apprentissage. L’idée de base part d’un postulat simple : un joueur – dans une situation répétitive – apprend de ses erreurs et distingue progressivement les équilibres qui lui sont plus avantageux. En pratique, les expériences historiques peuvent façonner cet effet d’apprentissage (on parle alors d’« histoire initiale du jeu »). Si chaque joueur dispose des mêmes capacités cognitives, il se dégage alors un « sentier d’équilibres » qui restreint considérablement le nombre d’équilibres de Nash admissibles.
(16) Essentiellement issu du théorème de la séparation des convexes et des techniques de partitionnement.
(17) Rappelons que le critère d’optimalité de Pareto n’implique pas toujours un partage équitable. Une situation où un joueur gagne tout et l’autre se retrouve sans rien est Pareto-optimale.